Eliminasi Gauss Jordan

Sistem persamaan linear:

Dapat dinyatakan sebagai perkalian matriks yaitu AX=B Dimana A disebut matriks Koefesien berordo m x n, X disebut matriks anu berordo n x 1, dan B disebut matriks suku konstan berordo m x 1, dan masing – masingnya adalah

Penyelesaian sistem persamaan linear tidak mengubah anu, tetapi hanya mengoperasikan secara aritmetik : koefesien (yaitu dibuat menjadi nol sehingga dengan sendirinya berkesan hilang) dan suku konstan. Karena itu SPL dapat diubah menjadi matriks lengkap atau matriks yang diperluas (Augmented matrix), secara umum matriks lengkap sebagai berikut:

Dari matriks diatas bahwa matriks koefesien (A) diperluas dengan menambahkan satu kolom yang berisikan matriks suku konstan (B). Matriks eselon baris tereduksi bercirikan : 1. Pada setiap baris, entri tak – nol yang pertama adalah satu. Dan satu ini disebut satu utama. 2. Jika terdapat baris nol, maka baris tersebut diletakkan pada baris yang terbawah. 3. Pada dua baris yang berurutan letak satu utama pada baris yang lebih bawah terletak lebih ke kanan. 4. Pada setiap kolom jika terdapat satu utama, entri – entri yang lain adalah nol. Jika sebuah matriks hanya memenuhi ciri 1, 2, dan 3 saja matriks ini disebut matriks eselon baris. Penyelesaian SPL menjadi mudah ditemukan jika kita mempunyai matriks lengkap yang berbentuk matriks eselon baris tereduksi. Berikut diberikan contoh matriks eselon baris tereduksi.

Untuk matriks lengkap E , pada baris keempat, jika dikembalikan ke bentuk persamaan linear, didapatkan 0x1 + 0x2 + 0x3 = -15 dimana jelas terlihat bahwa persamaan linear yang demikian ini tidak mungkin terjadi. Pada ruas kiri bernilai 0 sedangkan pada rua kanan bernilai -15, karena itu berapapun nilai yang kita pilih untuk x1 , x2 , dan x3, keadaan itu tidak terpenuhi yang berarti pula SPL yang demikian ini tidak mempunyai penyelesaian (tak – konsisten). Untuk memudahkan pencarian penyelesaiannya matriks lengkap ini diubah minimal menjadi matriks eselon baris atau lebih jauh lagi menjadi matriks eselon baris tereduksi. Untuk mengubah matriks lengkap tersebut diperlukan operasi yang tidak mengubah penyelesaian dari SPL, yaitu operasi baris elementer (OBE) : 1. Mengalikan satu baris dengan konstanta tak nol (bi ← cbi ,c ≠ 0) {baris ke – i dikalikan dengan C ditulis di baris ke – i} 2. Menukar tempat dua baris (bi ↔ bj) {baris ke – i dipertukarkan dengn baris ke – j{ 3. Menjumlahkan satu baris dengan kelipatan baris yang lain (bi ← bi + kbj) { baris ke – j dikalikan dengan k dan ditambahkan pada baris ke – i, ditulis pada baris ke – i}. Metode pengubahan (pencarian penyelesaian SPL) ini dikenal dengan nama Eliminasi Gauss (jika matriks lengkap diubah menjadi matriks eselon baris dan dilakukan substitusi mundur) atau eliminasi Gauss – Jordan ( jika matriks lengkap diubah menjadi matriks eselon baris tereduksi dan dilakukan subtitusi mundur). Skema pencarian penyelesaian ini dapat dilukiskan pada gambar berikut :

Contoh Soal :