MATEMATIKA DISKRIT HIMPUNAN

HIMPUNAN

Ilmu komputer dan informatika merupakan bidang ilmu yang mempelajari objek-objek diskrit, di komputer objek-objek diskrit merupakan data masukan untuk program. Himpunan merupakan terminologi dasar tentang sekumpulan objek diskrit. Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Bagian-bagian yang terdapat dalam himpunan di sebut anggota, unsur atau elemen.

A.    Penyajian himpunan

-          Enumerasi

Jika himpunan tidak terlalu besar kita bisa menyajikan himpunan dengan cara mengenumerasi artinya menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan di antara dua buah tanda kurung kurawal.

Contoh : Himpunan A berisi lima buah bilangan genap pertama adalah A = {2,4,6,8,10}

-          Simbol-simbol Baku

Simbol Baku

P = himpunan bilangan bulat positif

N = himpunan bilangan asli

Z = himpunan bilangan bulat

Q = himpunan bilangan rasional

R = himpunan bilangan riil

C = himpunan bilangan kompleks

U = himpunan semesta atau universal

contoh : U = {1,2,3,4,5}dan A adalah himpunan  bagian dari U, dengan A = {1,3,5}.

-          Notasi Pembentukan Himpunan

Cara lain menyajikan himpunan adalah dengan notasi pembentuk himpunan (set builder). Dengan cara penyajian ini, himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus di penuhi oleh anggotanya.

Notasi : {x| syarat yang harus dipenuhi oleh x}

-          Diagram venn

Diagram venn menyajikan himpunan secara grafis. Cara penyajian himpunan ini di perkenalkan oleh matematikawan inggris bernama Jhon Venn pada tahun 1881. Dalam diagram venn semesta (U0 digambarkan sebagai segi empat dan lainnya digambarkan sebagai lingkaran . Contoh :

U

                                                                  A                 B

B.        Kardinalitas

Kardinalitas sebuah himpunan yang dikatakan berhingga (finite set) jika terdapat n elemen berbeda (distinct) yang dalam hal ini n adalah bilangan bulat tak negative. Sebaliknya himpunan tersebut dinamakan tak-berhingga (infinite set). Misalkan A merupakan himpunan berhingga, maka jumlah elemen berbeda di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.

Notasi : n(A) atau |A|

C.    Himpunan Kosong

Himpunan Kosong Himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan cardinal = 0 disebut himpunan kosong (empty set).

Notasi : {} atau Ø

Contoh ; E= { x | x < x }, maka |E| = 0

D.    Himpunan Bagian (Subset)

Sebuah himpunandapat merupakan bagian dari himpunan lain. Anggota yang dikandung di dalam himpunan tersebut juga terkandung di dalam himpunan yang lain.

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. dalam hal ini B dikatakan superset dari A.

Notasi :

Contoh : {1,2,3}  {1,2,3,4,5}

E.     Himpunan yang sama

Dua buah himpunan mungkin saja sama yaitu semua anggota di dalam kedua himpunan tersebut sama, meski pun urutan di dalam himpunan tidak sama.

Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika keduanya mempunyai elemen yang sama. Dengan kata lain, A  sama dengan B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A.

Notasi : A = B  A A

Contoh : jika A={3,5,8,5} dan B = {3,5,8} maka A=B

F.     Himpunan Ekivalen

Dua buah himpunan dapat mempunyai cardinal yang sama meskipun anggota kedua himpunan tersebut tidak sama.kita katakan kedua himpunan tersebut ekivalen. Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika cardinal dari kedua himpunan tersebut sama.

Notasi :

Contoh : jika A = {1,3,5,7} dan B= {a,b,c,d}, maka

G.    Himpunan Saling Lepas

Dua buah himpunan mungkin saja tidak memiliki anggota yang sama satu buah pun. Kedua himpunan tersebut dikatakan saling lepas (disjoint). Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.

Contoh : jika A= {x| x  P, x < 8} dan B = {10,20,30,..}, maka A // B.

H.    Himpunan Kuasa

      Satu terminologi yang banyak ditemui dalam literatur ilmu komputer adalah himpunan kuasa (Power set). Himpunan kuasa dari suatu himpunan mengandung semua himpunan bagian dari himpunan yang dimaksud.

Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.

Notasi :P(A) atau 2^A

Contoh : jika A = {1,2} maka P(A) = {Ø, {1}, {2}, {1,2}}

I.       Operasi Terhadap Himpunan

     Terdapat beberapa operasi yang biasa digunakan terhadap dua buah himpunan sehingga menghasilkan himpunan lain, yaitu operasi irisan (intersection), gabungan (union), komplemen, selisih (difference), perkalian kartesian (Cartesian Product), dan beda-setangkup (symmetric difference).

a.      Irisan (intersection)

Irisan dari himpunan A dan B adalah sebuah himpunan yang setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan himpunan B.

            Notasi : 

b.      Gabungan (union)

Gabungan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B.

Notasi :

c.       Komplemen (complement)

Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta U adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen U yang bukan elemen A.

           

d.      Selisih (difference)

Selish dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen dari A tapi bukan elemen dari B. Selisih antara A dan B dapat juga dikatakan sebagai komplemen himpunan B relative terhadap himpunan A.

           

e.       Beda Setangkup (symmetric difference)

Beda setangkup dari himpunan A dan B adalh suatu himpunan yang elemenya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya.

            Notasi

f.       Perkalian Kartesian (Cartesian Product)

Perkalian  kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan (ordered pairs) yang dibentuk dari kompenen pertama dari himpunan A dan kompenen kedua dari himpunan B.

            Notasi :

J.      Perampatan Operasi Himpunan

Operasi himpunan dapat dilakukan terhadap 2 atau lebih himpuanan. Dalam hal ini kita melakukan perampatan (generalization) operasi himpunan dengan menggunakan dasar perampatan yang ada pada operasi aritmatika biasa.

K.    Hukum-hukum Aljabar Himpunan

Terdapat beberapa sifat yang berlaku dalam pengoprasian dua buah himpunan atau lebih dimana sifat tersebut dinyatakan dalam kesamaan himpunan ( set indentities). Dan kesamaan tersebut dinamakan hukum, dimana hukum tersebut mengatur operesi pada himpunan. Diantar hukum-hukum tersebut ada yang mirip dengan hukum Aljabar pada sistem bilangan riil sehinggan pada himpunan juga dikenal dengan hukum-hukum aljabar himpunan.

Ada 11 hukum-hukum aljabar humpunan, yaitu :

1.      Hukum identitas	dan
2.      Hukum null/dominasi
3.      Hukum komplemen
4.      Hukum idempoten
5.      Hukum involusi
6.      Hukum penyerapan
7.      Hukum komutatif
8.      Hukum Asosiatif
9.      Hukum distributif
10.  Hukum De Morgan	=
11.  Hukum 0/1 (hukum Komplement 2)	dan

L.     Prinsip Dualitas 

Prinsip dualitas banyak ditemukan pada beberapa situasi. Prinsip ini menyatakan bahwa dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar. Seperti perbedaan letak kemudi pada Negara Amerika Serikat yang terletak disebelah sepan bagian kiri, sedangkan di inggris juga Indonesia kemudi terletak di depan sebelah kanan. Kedua perbedaan ini menimbulkan pebedaan yang berbeda pada kedua Negara. 

M.   Prinsip Inklusi-Eksklusi

Prinsip Inklusi-Eksklusi merupakan jumlah elemen yang merupakan hasil pengabungan yang seharusnya adalah elemen di masing-masing himpunan dikurangi dengan elemen-elemen didalm irisannya.

N.    Partisi

Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A_1, A₂,…… dari A sedemikian sehingga:

A₁  A₂  … = A, dan 

Himpunan bagian A_i saling lepas, yaitu A_i A_j = Ø untuk I ≠ j

Jika himpunan A terbatas jumlahnya elemenya, maka jumlah partisi yang dapat dibetuk tidak lebih banyak dari |A|.

Contoh : A= {1,2,3,4,5,6,7,8}, maka {{1}, {2,3,4},{7,8}, {5,6}} adalah partisi A.

O.    Pembuktian Proposisi Himpunan

Proposisi himpunan adalah peryataan yang menggunakan notasi himpunan. Terdapat beberapa metode untuk membuktikan kebenaran proposisi himpunan. Kita dapat membuktikannya dengan beberapa metode yang menghasilkan kesimpulan yang sama. Beberapa metode pembuktian proposisi himpunan yaitu :

·         Pembuktian menggunakan digram venn.

·         Pembuktian dengan menggunakan table keanggotaan.

·         Pembuktian menggunakan aljabar himpunan.

·         Pembuktian menggunakan definisi.

P.     Himpunan ganda (multiset)

Himpunan ganda merupakan himpunan yang elemenya boleh berulang atau tidak harus berbeda. Contonya : {a,a,a,b,b,c} , {2,2,2}, {2,3,4}, {} adalah himpunan ganda. Multiplisitas dari sebuah himpunan ganda adalah jumlah kemunculan elemen tersebut dalam sebuah himpunan ganda. Contoh : jika M = {0, 1, 01, 1, 0, 001, 0001, 00001, 0, 0, 1} maka multiplisitas elemen 0 adalah 4.

Q.    Tipe Set dalam Bahasa Pascal

Bahasa Pascal Menyediakan tipe data khusus untuk himpunan, yang bernama set.

Tipe set menyatakan himpunan kuasa dari tipe ordinal.

Contohnya :

     type

                        HurufBesar = ‘A’..’z’ ;

                        Huruf = set of  HurufBesar;

            Var

                        HurufKu : Huruf;

R.    Pengantar Logika dan Himpunan Fuzzy

Logika fuzzy pertama kali dikembangkan oleh lotfi A. Zadeh, seorang ilmuwan Amerika serikat berkebangsawan Iran dari Universitas California di Barkeley melalui tulisannya pada tahun 1965.  Meskipun logika fuzzy dikembangkan di amerika, namun lebih populer dan banyak di aplikasikan secara luas oleh praktisi jepang dengan mengadaptasikan ke bidang kendali (control). Contohnya seperti mesin cuci, AC dan lainnya.

Logika fuzzy umumnya diterapkan pada masalah-masalah yang mengandung unsur ketidakpastian (uncertainty). Logika fuzzy di kembangkan dari teori himpunan fuzzy. Sementara, himpunan fuzzy yang telah kita bahas merupakan himpunan klasik yang seringkali disebut himpunan tegas (crisp set).

Dalam teori himpunan fuzzy, keanggotaan suatu elemen di dalam himpunan dinyatakan dengan derajat keanggotaan (membership values) yang nilainya terletak di dalam selang [0,1]. Derajat kenggotaan di tentukan dengan fungsi ke anggotaan :

            Cara Mendefinisikan Himpunan Fuzzy

Misalkan himpunan fuzzy A didefinisikan pada semesta pembicaraan X={x₁,x₂,…x_n}.

            Cara 1 : sebagai himpunan pasangan berurutan

                        A = {(X₁, _A(X₁)), (X₂, _A(X₂)),….,(X_n, _A(x_n))}

            Cara 2: dintanyakan dengan menyebut fungsi keanggotaan.

Cara ini digunakan bila anggota himpunan fuzzy bernilai menerus (rill).

Misalkan : A himpunan bilangan rill yang dekat 2

            Maka, dalam himpunan fuzzy,

A= {(x, (x))| (x)=1/(1+(x-2)²)}

Cara 3: Dengan menuliskan sebagai

            A= { A(x1)/x1+ A(x2)/x2+…+ A(xn)/xn} ={ A(xi)/xi}

Untuk X diskrit atau

A = { A(x)/x}

Untuk X diskrit atau (continue.lambang bukan berarti integral seperti di dalam kalkulus.

                                                Daftar Pustaka

Munir, Rinaldi. 2014. Matematika Diskrit. Bandung : Informatika

http://www.slideshare.net/muhammaddavide/himpunan-53046242